03) (TTN/94) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 635,50, o valor nominal do título era de R$.
a) 6.510,00
b) 6.430,00
c) 6.590,00
d) 5.970,00
e) 6.240,00
terça-feira, 14 de abril de 2009
Descontos Simples
02) (TTN/89) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de NCz$ 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de
a) NCz$ 24.000,00
b) NCz$ 25.000,00
c) NCz$ 27.500,00
d) NCz$ 18.880,00
e) NCz$ 24.190,00
a) NCz$ 24.000,00
b) NCz$ 25.000,00
c) NCz$ 27.500,00
d) NCz$ 18.880,00
e) NCz$ 24.190,00
Desconto Simples
1 – INTRODUÇÃO
Se uma pessoa deve quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado DESCONTO.
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.
2 – TÍTULO DE CRÉDITO
Os títulos de crédito mais utilizados em operações Financeiras são a NOTA PROMISSÓRIA, a DUPLICATA e a LETRA DE CÂMBIO.
2.a – A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
2.b – A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
2.c – A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
3 – DESCONTO
Alguns conceitos importantes:
valor nominal, também chamado valor futuro, valor de face ou valor de resgate – é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento).
valor atual, também chamado valor descontado – é o líquido pago (ou recebido)antes do vencimento.
tempo ou prazo – é o número de dias compreendidos entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último , ou, então, incluindo o último e não o primeiro.
Assim: Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o atual.
Atenção: O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.
4 – DESCONTO COMERCIAL
4.a – Definição: chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada.
4.b – Valor do desconto comercial.
Chamamos de:
d o valor do desconto comercial.
N o valor nominal do título.
A o valor atual comercial ou valor descontado comercial.
n o tempo.
i a taxa de desconto.
Temos pela definição: d = N x i x n, que é o valor do desconto comercial.
4.c – Valor atual comercial
O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por:
A = N – d, substituindo “d” por seu valor obtido,
Temos: A = N – N x i x n.
Daí: A = N(1 – i x n), que é o valor atual comercial.
IMPORTANTE: O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.
Se uma pessoa deve quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado DESCONTO.
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.
2 – TÍTULO DE CRÉDITO
Os títulos de crédito mais utilizados em operações Financeiras são a NOTA PROMISSÓRIA, a DUPLICATA e a LETRA DE CÂMBIO.
2.a – A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
2.b – A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
2.c – A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
3 – DESCONTO
Alguns conceitos importantes:
valor nominal, também chamado valor futuro, valor de face ou valor de resgate – é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento).
valor atual, também chamado valor descontado – é o líquido pago (ou recebido)antes do vencimento.
tempo ou prazo – é o número de dias compreendidos entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último , ou, então, incluindo o último e não o primeiro.
Assim: Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o atual.
Atenção: O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.
4 – DESCONTO COMERCIAL
4.a – Definição: chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada.
4.b – Valor do desconto comercial.
Chamamos de:
d o valor do desconto comercial.
N o valor nominal do título.
A o valor atual comercial ou valor descontado comercial.
n o tempo.
i a taxa de desconto.
Temos pela definição: d = N x i x n, que é o valor do desconto comercial.
4.c – Valor atual comercial
O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por:
A = N – d, substituindo “d” por seu valor obtido,
Temos: A = N – N x i x n.
Daí: A = N(1 – i x n), que é o valor atual comercial.
IMPORTANTE: O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.
Descontos Simples
1) O valor atual racional de um titulo é igual a metade do seu valor nominal. Calcular ataxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse titulo foi antecipado de 5 meses.
a)200%a.a.
b)20%a.m.
c)25%a.m.
d)28%a.m.
e)220%a.a.
a)200%a.a.
b)20%a.m.
c)25%a.m.
d)28%a.m.
e)220%a.a.
terça-feira, 7 de abril de 2009
Resumo do capitulo 3
O estrangeiro
Beremiz de fato era um homem muito esperto, por perceber que naquela situação ele poderia tirar um vantagem dos 3 irmãos, segundo o PAI era pra ser dividido em 3 partes diretamente proporcional.
Beremiz por perceber que naquela ocasião seria necessário a sua intervenção, então ele propôs aos 3 irmãos ma solução que seria agradável a todos.
Ele propôs a ajudá-los, as com segundas intenções, ele notou assim como os 3 irmãos são dava uma conta exata, acrescentou o seu único camelo, somando 36 ao total, e pos a se dividir.
O filho mais velho ficaria com a metade de 35, isto é 17 e meio, receberas a metade de 36, portanto 18.
O segundo filho ficaria com o terço de 35, isto é 11 e meio, vai receber um terço de 36, isto é 12.
O terceiro filho ficaria com a nona parte de 35, isto é 3 e tanto, vai receber a nona parte de 36, isto é 4.
A soma que beremiz fez ( 18+12+4) totalizando 34, e os 2 últimos camelos que sobrarão, 1 ficou para beremiz e o outro para seu amigo.
ALUNOS: GERALDO E LUIS RICARDO.
Beremiz de fato era um homem muito esperto, por perceber que naquela situação ele poderia tirar um vantagem dos 3 irmãos, segundo o PAI era pra ser dividido em 3 partes diretamente proporcional.
Beremiz por perceber que naquela ocasião seria necessário a sua intervenção, então ele propôs aos 3 irmãos ma solução que seria agradável a todos.
Ele propôs a ajudá-los, as com segundas intenções, ele notou assim como os 3 irmãos são dava uma conta exata, acrescentou o seu único camelo, somando 36 ao total, e pos a se dividir.
O filho mais velho ficaria com a metade de 35, isto é 17 e meio, receberas a metade de 36, portanto 18.
O segundo filho ficaria com o terço de 35, isto é 11 e meio, vai receber um terço de 36, isto é 12.
O terceiro filho ficaria com a nona parte de 35, isto é 3 e tanto, vai receber a nona parte de 36, isto é 4.
A soma que beremiz fez ( 18+12+4) totalizando 34, e os 2 últimos camelos que sobrarão, 1 ficou para beremiz e o outro para seu amigo.
ALUNOS: GERALDO E LUIS RICARDO.
terça-feira, 31 de março de 2009
Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido".Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
.....................................................................................................
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente:
S = 1000(1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n :S = P (1 + i)n
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.
Exercícios Resolvidos:
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.
Solução:Temos S = P(1+i)nLogo, S/P = (1+i)nPelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
.....................................................................................................
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente:
S = 1000(1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n :S = P (1 + i)n
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.
Exercícios Resolvidos:
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.
Solução:Temos S = P(1+i)nLogo, S/P = (1+i)nPelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:
Temos também da expressão acima que:
n.log(1 + i) = logS – logP
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.
2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução:Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então:n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que eqüivale a 2 anos e 11 meses.Resposta: 2 anos e 11 meses.
Exercícios propostos:
1 – Um capital de $200000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.Resposta: $292820,00
2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.Observe que 9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.
n.log(1 + i) = logS – logP
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.
2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução:Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então:n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que eqüivale a 2 anos e 11 meses.Resposta: 2 anos e 11 meses.
Exercícios propostos:
1 – Um capital de $200000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.Resposta: $292820,00
2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.Observe que 9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.
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