Juros Compostos

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido".Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
.....................................................................................................
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente:
S = 1000(1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n :S = P (1 + i)n
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.
Exercícios Resolvidos:
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.
Solução:Temos S = P(1+i)nLogo, S/P = (1+i)nPelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:

Temos também da expressão acima que:
n.log(1 + i) = logS – logP
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.
2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução:Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então:n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que eqüivale a 2 anos e 11 meses.Resposta: 2 anos e 11 meses.
Exercícios propostos:
1 – Um capital de $200000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.Resposta: $292820,00
2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.Observe que 9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.

fonte:http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-compostos.html

Atividade!!!

Queridos alunos, para nossa atividade sobre O dia da matemática ,vocês precisam ler o capítulo 3 do livro O homem que calculava!

Professor Sérgio.

Obs. Para ter acesso ao livro e ao respectivo capítulo, você deverá acessar o link disponibilizado na parte superior do blog. Após ler o capítulo referido você também deverá fazer um resumo do mesmo.

HISTÓRICO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro. As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o sistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecida. Há muitos textos desses primeiros tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos. Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas.Das 400 tábuas matemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas envolvem tábuas de multiplicação, tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais. Quanto a estas, provavelmente eram usadas, juntamente com a interpelação, em problemas de juros compostos. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação.

Exercícios De Porcentagem

a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?

b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?

c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

Calcule as porcentagens correspondentes:

e) 2% de 700 laranjas
f) 40% de 48 m
g) 38% de 200 Kg
h) 6% de 50 telhas
i) 37,6% de 200
j) 22,5% de 60

Matemática

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